Vorbemerkung: Bayerische Schüler haben beim Matheabitur die Wahl zwischen klassischem Abitur und CAS-Abitur. Bei letzterem steht ihnen neben den gewohnten Hilfsmitteln (Formelsammlung, Taschenrechner etc.) noch ein Computeralgebrasystem zur Verfügung. Grundsätzlich besteht das bayerische Matheabitur aus zwei Teilen: Im ersten müssen Aufgaben ohne Hilfsmittel gelöst werden (Dauer: 90 Minuten), im zweiten dürfen Hilfsmittel verwendet werden (Dauer: 180 Minuten)
"Stochastik (klassisches Abitur, Hilfsmittel sind zugelassen, Anm. d. Red.)
Ein Großhändler bietet Samenkörner für Salatgurken in zwei Qualitätsstufen an. Ein Samenkorn der höheren Qualität A keimt mit einer Wahrscheinlichkeit von 95%, eines der Qualität B mit einer Wahrscheinlichkeit von 70%. Ein Anbaubetrieb kauft Samenkörner beider Qualitätsstufen, 65% aller gekauften Samenkörner sind von der Qualität A.
a) In einem Gedankenexperiment werden die eingekauften Samenkörner zusammengeschüttet und gemischt. Bestimmen Sie mithilfe eines beschrifteten Baumdiagramms [5 BE]
α) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Samenkorn keimt;
β) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Samenkorn, das nach der Saat keimt, von der Qualität B ist.
b) Der Anbaubetrieb sät 200 Samenkörner der Qualität B. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
- E: Von den gesäten Samenkörnern keimen genau 140.
- F: Von den gesäten Samenkörnern keimen mehr als 130 und wenigerals 150. [3 BE]
c) Beschreiben Sie im Sachzusammenhang die Bedeutung des Terms 1 - P (X ≥ 275), wobei X eine binomial verteilte Zufallsgröße mit den Parametern n = 300 und p = 0,95 bezeichnet. [2 BE]
d) Keimt ein Samenkorn, so wächst daraus eine Pflanze heran, die aufgrund schädlicher Einflüsse jedoch in manchen Fällen keine Gurken trägt. Bei einem gekeimten Samenkorn der Qualität A entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von 85% eine fruchttragende Pflanze, bei einem gekeimten Samenkorn der Qualität B mit einer Wahrscheinlichkeit von 75%. Vereinfachend wird davon ausgegangen, dass - unabhängig von der Qualität der Samenkörner - von jeder fruchttragenden Pflanze gleich viele Gurken geerntet werden können.
Ein Samenkorn der Qualität A kostet 17 Cent, eines der Qualität B 12 Cent. Entscheiden Sie durch Rechnung, ob es für einen Anbaubetrieb finanziell günstiger ist, sich auf Samenkörner der Qualität A zu beschränken, oder ob es finanziell günstiger ist, sich auf Samenkörner der Qualität B zu beschränken, wenn er alle Gurken zum selben Preis verkauft. [5 BE]
e) Der Großhändler behauptet, dass sich die Wahrscheinlichkeit für das Keimen eines Samenkorns der Qualität B durch eine veränderte Aufbereitung des Saatguts auf mehr als 70% erhöht hat. Deshalb soll die Nullhypothese "Die Wahrscheinlichkeit für das Keimen eines Samenkorns der Qualität B ist höchstens 70%." auf einem Signifikanzniveau von 5% getestet werden. Dazu werden 100 der verändert aufbereiteten Samenkörner der Qualität B zufällig ausgewählt und gesät. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel. [5 BE]"
"Geometrie (CAS-Abitur, keine Hilfsmittel zugelassen, Anm. d. Red.)
1 Gegeben sind die Punkte A(2 |1| -4) , B(6 |1| -12) und C(0 |1| 0) .
a) Weisen Sie nach, dass der Punkt C auf der Geraden AB, nicht aber auf der Strecke [AB] liegt. [3 BE]
b) Auf der Strecke [AB] gibt es einen Punkt D, der von B dreimal so weit entfernt ist wie von A. Bestimmen Sie die Koordinaten von D. [2 BE]
2 Gegeben ist die Ebene E : 2 x1 + x2 - 2 x3 = -18.
a) Der Schnittpunkt von E mit der x1-Achse, der Schnittpunkt von E mit der x2 -Achse und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks. [2 BE]
b) Ermitteln Sie die Koordinaten des Vektors, der sowohl ein Normalenvektor von E als auch der Ortsvektor eines Punkts der Ebene E ist. [3 BE]"