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Mathematik:Rätsel der Endlos-Rennstrecke gelüftet

75 Jahre lang haben Mathematiker gegrübelt, wie sich das Möbiusband in einer Formel beschreiben lässt. Jetzt sind sie fündig geworden.

Wolfgang Blum

Bisweilen erobern mathematische Objekte sogar die Kunst. Das Möbiusband erlangte Berühmtheit durch ein Bild von M.C. Escher, auf dem Ameisen auf einem geschlossenen Band wandern wie auf einer endlosen Rennstrecke.

Möbius, Endlosschleife, London
(Foto: Foto: iStockphoto/sueddeutsche.de)

Das Besondere an dem geometrischen Objekt ist, dass es nur eine Seite hat. Verfolgt man den Weg der Insekten, die darauf laufen, so gibt es kein Innen oder Außen, sondern jede Stelle des Bandes wird erreicht.

Vor knapp 150 Jahren entdeckten zwei deutsche Mathematiker unabhängig voneinander solche Flächen, die nur eine Seite haben. Nach einem von ihnen, August Ferdinand Möbius, heißen sie heute Möbiusbänder.

Erst jetzt ist es Forschern vom University College in London gelungen, die geometrischen Konstrukte in Formeln zu packen (www.nature.com/nmat/journal/vaop/ncurrent/abs/nmat1929.html).

Simpel selbstgebastelt

Ein Möbiusband kann man sich leicht selbst aus einem Papierstreifen basteln. Man verdreht dazu die eine Schmalseite im Vergleich zur anderen um 180 Grad und klebt die beiden Seiten anschließend zusammen. Fährt man nun mit einem Stift auf dem Papier entlang, gerät man ohne abzusetzen von "außen" nach "innen" und zurück. Die Trennung von außen und innen ist damit beim Möbiusband aufgehoben: Es ist eine Fläche mit nur einer Seite.

Klebt man die Ränder eines Möbiusbandes zusammen, erhält man die sogenannte Kleinsche Flasche, die nach dem deutsche Mathematiker Felix Klein benannt ist - ein Gefäß, das kein Innen und Außen kennt. Wie beim Möbiusband kann auch darin eine Ameise jeden Punkt erreichen, ohne über einen Rand hinwegklettern zu müssen.

Solche Betrachtungen haben Mathematiker so lange beschäftigt, dass sie erst seit 75 Jahren versuchen, Formeln zu finden, die die Form eines Möbiusstreifens beschreiben. Die Lösung fand sich über einen Ausflug in die Physik. Nach einem physikalischen Prinzip kommt die Schleife so zum Liegen, dass die Verformungsenergie minimiert wird, die durch das Verdrehen entsteht.

"Wir haben die energetischen Auswirkungen von Drehung und Krümmung berücksichtigt", erklärt Gert van der Heijden, einer der beiden Wissenschaftler, die das Rätsel geknackt haben. Die Formeln, die er und sein Kollege Eugene Starostin ausgetüftelt haben, sind allerdings so kompliziert, dass sie sich nicht exakt lösen lassen. Ihre Lösungen näherungsweise zu bestimmen, stellte indes kein Problem dar.

Van der Heijden und Starostin entdeckten, dass die Form eines Möbiusbands nur von einer Zahl abhängt: dem Verhältnis aus Länge und Breite des zusammengeklebten Papiers. Dieses Verhältnis allein legt die Krümmung und Dehnung des Streifens und damit sein Aussehen fest. Weitere Faktoren, etwa das Gewicht des Streifens, spielen offenbar keine Rolle.

Einseitige Förderbänder

Damit ein Möbiusband gebastelt werden kann, muss die Länge des Papierstreifens größer sein als seine Breite, genau gesagt 1,73 mal so groß. Sonst gelingt es nicht, die beiden Enden zusammenzubringen. Ist der Streifen 1,73 mal - der exakte Wert ist die Quadratwurzel aus 3 - so lang wie breit, sieht das Möbiusband aus wie ein gleichseitiges Dreieck aus drei Lagen Papier.

An den Stellen, an denen das Papier geknickt ist, zerren die größten Kräfte. Van der Heijden und Starostin vergleichen das in ihrem Artikel mit dem Zerreißen von Papier: "Dabei erzeugen wir sich überschneidende Falten wie an den Eckpunkten eines Möbiusbandes". Die beiden Forscher sehen daher mögliche Anwendungen ihrer Arbeit beim Verknittern von Papier und beim Auslegen von Stoff.

Möbiusbänder sind auch anderweitig gefragt: Als Förderbänder haben sie den Vorteil, sich auf beiden Seiten gleichmäßig abzunutzen. Kürzlich ist es Forschern gelungen, Kristalle in der Form eines Möbiusbandes zu züchten. Auch ein Protein der afrikanischen Pflanze Oldenlandia affinis ist verdreht wie ein Möbiusband. Die geladenen Teilchen im Sonnenwind fliegen auf Möbiusbahnen. Obwohl seine Geometrie simpel anmutet, ist das Möbiusband 150 Jahre nach seiner Entdeckung noch nicht aus der Mode gekommen.

© SZ vom 24.7.2007
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