Zahlentheorie Mathematiker knackt Rätsel um Zahl 33

Die Zahl 33 lässt sich als Summe von drei Dreierpotenzen darstellen

(Foto: Youtube / Numberphile)
  • Der Mathematiker Andrew Booker hat eine neue Lösung für eine Variante der diophantischen Gleichungen entdeckt.
  • Dabei geht es um die Frage, welche Zahlen sich als Summe von drei Dreierpotenzen ausdrücken lassen. Bei vielen Zahlen ist das möglich, bei manchen dagegen gab es auch nach hartnäckiger Suche keine Lösung.
  • Booker hat nun gezeigt, dass sich die Zahl 33 ebenfalls auf diese Weise darstellen lässt.
Von Marlene Weiß

Zahlentheorie ist eines jener Gebiete in der Mathematik, die eine ähnliche Verlockung entfalten wie die Sirenen in der griechischen Mythologie. Wer sich in ihre Nähe wagt, wird schnell von ihrer betörenden Einfachheit verzückt. Viele zahlentheoretische Probleme wirken unfassbar simpel, so als müsste man sich nur kurz mit Stift und Papier hinsetzen, und die Sache wäre geritzt. Aber wer so denkt, ist schon verloren. So manches naive Opfer hat die Zahlentheorie schon eiskalt mit ihrer brutalen Komplexität ins Verderben gezogen.

Nur manchmal geht doch ein Mathematiker siegreich aus diesem Kampf hervor. So wie kürzlich Andrew Booker von der University of Bristol. Er hat sich an eine Variante der sogenannten diophantischen Gleichungen gewagt, an denen schon Mathematiker im alten Griechenland verzweifelt sind. Bei Bookers Problem geht es konkret um die Frage, welche ganzen Zahlen sich als Summe von drei Dreierpotenzen anderer ganzer Zahlen ausdrücken lassen. Ein einfaches Beispiel ist die Zahl 29: Sie lässt sich schreiben als 3³+1³+1³. Für welche anderen Zahlen gibt es solche Zahlentripel? Und wie viele davon?

8 866 128 975 287 528³ + (−8 778 405 442 862 239)³ + (−2 736 111 468 807 040)³ = 33

Das kann doch nicht so schwer sein, könnte man meinen, wobei man bedenken sollte, dass auch negative Zahlen erlaubt sind. Tatsächlich ist das Problem vertrackt. Für zwei Zahlengruppen weiß man schon lange, dass keine Lösungen existieren: jene Zahlen, die sich mit Rest 4 oder 5 durch 9 teilen lassen, also 4, 5, 13, 14, 22, 23, 31, 32 und so weiter. Dann wiederum gibt es Zahlen, für die sogar ein ganzer Haufen Lösungen bekannt ist. Seit Mathematiker 1954 anfingen, das Problem mit Computern anzugehen, konnten viele Zahlen in diese Gruppe einsortiert werden.

Am interessantesten aber sind die Problemfälle: Zahlen, für die trotz intensiver Suche noch keine Lösung gefunden wurde, ohne dass man jedoch wüsste, warum das so ist. Im Zahlenraum bis 1000 betraf das lange 14 Zahlen. Die Liste beginnt mit 33, 42, 74, 114, 165, 390 und 579. Das jedenfalls war der Stand im Jahr 2015, als der Videojournalist Brady Haran in seinem populären Youtube-Kanal "Numberphile" ein Video postete, in dem der britische Mathematiker Tim Browning das Problem erklärt.

Haran kennt die sirenenhafte Anziehungskraft des Themas, darum ist sein Video wohlweislich mit Warnungen versehen: "Hier nicht anhalten, um es selbst auszuprobieren!" - bei der Zahl 30, wo die erste Lösung nur mit zehnstelligen Zahlen funktioniert. Oder "Hier ganz sicher nicht anhalten, um es selbst auszuprobieren": bei der 33 zum Beispiel, für die es bis dahin keine Lösung gab.

Der Mathematiker Andrew Booker ließ sich von diesem Hinweis jedoch nicht abschrecken, als er das Video sah. Beim ersten Versuch kam er nicht weit. Aber dann wurde er auf ein zweites Numberphile-Video aufmerksam, das Haran 2016 veröffentlicht hatte - anlässlich der ersten Lösung für die Zahl 74. "Da hat es mich gepackt", sagt Booker in einem dritten, aktuellen Video der Reihe. Er nahm sich die verbliebenen Zahlen vor.

Schon viele Mathematiker haben versucht zu beweisen, dass für diese Zahlen keine Lösung existiert, ohne Erfolg. Andere haben mit Computern drauflosgerechnet, auch ohne Erfolg. Booker fiel auf, woran das liegen könnte: Alle verbleibenden 13 Zahlen unter 1000 sind mit Rest 3 oder 6 durch 9 teilbar. Das könnte bedeuten: Während es bei ihren Verwandten, die sich mit Rest 4 oder 5 durch 9 teilen lassen, keine einzige Lösung gibt, haben Zahlen dieser Gruppe zwar unendlich viele Lösungen. Diese sind aber in den ebenfalls unendlichen Weiten des Zahlenraums äußerst selten und schwer zu finden. Es kommt also darauf an, den Suchbereich so weit einzugrenzen, dass die Aufgabe für Supercomputer lösbar wird.

Und genau das ist Booker zumindest für die kleinste Zahl auf der Liste gelungen: Mit etwas Algebra konnte er die diophantische Gleichung für die Zahl 33 so umformen, dass er mit dem Rechencluster seiner Universität gezielt nach Lösungen suchen konnte, bis in den Billiardenbereich. Und dort wurde er fündig, viel schneller als erwartet. Schon nach wenigen Tagen meldete sein Programm eine Lösung. Als Booker nachrechnete, zeigte sich: Sie war korrekt. 8 866 128 975 287 528³ + (−8 778 405 442 862 239)³ + (−2 736 111 468 807 040)³ ergibt tatsächlich 33. (Wer hier anhalten möchte, um es selbst auszuprobieren, sollte ein Programm wie Wolfram Mathematica verwenden, das mit derart vielen Stellen zurechtkommt.)

Was fehlt, ist ein Beweis der Vermutung, dass es für alle Zahlen außer den mit Rest 4 oder 5 durch 9 teilbaren unendlich viele Lösungen gibt. "Manche Leute glauben, dass das unentscheidbar ist", sagt Booker. "Vielleicht werden wir nie einen Beweis haben, und näher können wir der Sache nicht kommen." Wobei: Da wäre ja noch die 42.

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