Phänomene der Wissenschaft Riemanns Werk und Teufels Beitrag

Die riemannsche Zeta-Funktion in der komplexen Ebene: Die Null, also der Ursprung der komplexen Ebene, befindet sich genau in der Mitte des Schaubildes.

(Foto: Jan Homann/Wikimedia Commons)
  • Eine kürzlich im Fachblatt PNAS erschienene Arbeit könnte einen neuen Ansatz für den ersehnten Beweis der Vermutung liefern.
  • Experten sprechen von einem Durchbruch.
  • Der Beweis hätten keinen wirklichen Nutzen für den Alltag, doch die theoretische Relevanz wäre groß - außerdem ist bei solchen Jahrhundert-Problemen oft der Weg das Ziel.
Von Marlene Weiß

Ein erfolgreicher Mathematiker versucht viele Jahre lang, die Riemannsche Vermutung zu beweisen, eines der bedeutendsten Probleme der Mathematik. Schließlich gibt er auf und verkauft seine Seele an den Teufel, der im Gegenzug verspricht, binnen einer Woche den Beweis zu liefern. Der Mathematiker also bereitet sich auf den wichtigsten Moment seiner Karriere vor, lädt seine Kollegen ein und kündigt überall an, er habe das Problem gelöst. Aber dann kommt der große Tag - und der Teufel erscheint nicht. Der Mathematiker ist bis auf die Knochen blamiert.

Ein Witz, der so beginnt, kursiert unter Mathematikern in vielen Versionen - vielleicht angelehnt an die Kurzgeschichte "The Devil and Simon Flagg" von Arthur Porges, in welcher der Teufel sich an einem anderen Problem versucht, das jedoch inzwischen gelöst wurde. Die Riemannsche Vermutung hingegen ist eines der sogenannten Millennium-Probleme, auf deren Lösung das US-amerikanische Clay-Institut ein Preisgeld von einer Million Dollar ausgesetzt hat.

Dabei hätte eine Lösung wohl keinerlei Auswirkungen auf den Alltag

Ruhm, Ehre und viel Geld wären jedem gewiss, der sie beweisen kann, doch bisher sind alle Versuche gescheitert. Jetzt aber scheint es womöglich nach langer Zeit wieder einen Fortschritt zu geben: Eine kürzlich in den Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS) erschienene Arbeit könnte einen neuen Ansatz für den ersehnten Beweis liefern. Experten sprechen von einem Durchbruch.

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Seit 160 Jahren versuchen sich Mathematiker mit wachsender Frustration an einem Beweis. Dabei hätte eine Lösung wohl keinerlei Auswirkungen auf den Alltag, Anwendungsmöglichkeiten sind schwer vorstellbar. Dennoch ist das Problem für Mathematiker eines der drängendsten überhaupt, denn es betrifft das Wesen der Zahlen an sich.

Die Riemannsche Vermutung ist für Nicht-Mathematiker sehr kompliziert. Trotzdem der Versuch einer Erklärung: Am Anfang steht die sogenannte Zeta-Funktion, die schon Leonhard Euler im 18. Jahrhundert untersuchte. Bis heute hat sie nichts von ihrer Faszination verloren. Es geht um Summen aus unendlich vielen Zahlen, wie 1+1/2+1/3+1/4+1/5 und so weiter, beziehungsweise das Gleiche mit Quadratzahlen: 1+1/4+1/9+1/16 ...

Wenn die einzelnen Zahlen schnell genug kleiner werden, weil im Nenner Quadratzahlen oder noch höhere Potenzen stehen, können solche Summen einen endlichen Wert annehmen, obwohl sie aus unendlich vielen Einzelwerten bestehen. Es ist wie wenn man sich einer Wand annähert, indem man die verbleibende Distanz mit jedem Schritt halbiert: Je länger man läuft, desto näher kommt man ihr, auch wenn man sie niemals ganz erreichen wird. Die Zeta-Funktion gibt diesen Wand-Wert für eine ganze Klasse solcher Summen aus.

Die Reihe 1+1/2+1/3+1/4+1/5+... jedoch wächst langsam aber sicher bis ins Unendliche. Das gilt natürlich erst recht für ganzzahlige Reihen wie 1+2+3+4+ ... oder gar 1+4+9+16+..., welche die Zeta-Funktion ebenfalls umfasst. Man muss kein Mathematiker sein, um zu erkennen, dass solche Rechenaufgaben direkt ins Unendliche führen.

Und doch kann man dank der mysteriösen Zeta-Funktion auch solchen Summen einen Sinn geben - auch wenn das für mathematisch unbelastete Menschen schwer nachzuvollziehen ist. Für die Summe aller natürlichen Zahlen beispielsweise, also 1, 2, 3, 4, 5 und so fort, spuckt die Zeta-Funktion den Wert -1/12 aus. Das ist natürlich Quatsch - wie sollte eine Summe aus ganzen, positiven Zahlen einen negativen Bruch ergeben? Einerseits. Andererseits kann man mit ein paar mathematischen Tricks sozusagen den unendlichen Teil der Summe wegzaubern, sodass -1/12 übrig bleibt. Etwas Ähnliches tun Physiker oft, um Berechnungen einen Sinn zu geben, bei denen zunächst nur "Unendlich" herauskommt.

Das Wichtige dabei: Dieser Prozess ist widerspruchsfrei; egal wie man es anstellt, man kommt immer zum gleichen, eindeutigen Ergebnis. So gesehen kann man sein Leben lang behaupten, die Summe der natürlichen Zahlen sei -1/12 - man wird damit nie in ernsthafte Schwierigkeiten geraten, jedenfalls in keine mathematischen. Dass Nicht-Mathematiker jeden für bekloppt erklären, der so etwas erzählt, steht auf einem anderen Blatt.

Der Mathematiker starb mit 39 Jahren an Tuberkulose

Für Mathematiker wird die Zeta-Funktion jedoch erst dann richtig spannend, wenn man sie nicht auf die herkömmliche Zahlengerade beschränkt, sondern auf die zweidimensionale Ebene der sogenannten komplexen Zahlen erweitert. Dann kommen nämlich unzählige Punkte hinzu, an denen die Zeta-Funktion den Wert Null ausgibt. Und die Verteilung dieser Punkte wiederum hängt auf geradezu magische Weise mit der Verteilung der Primzahlen zusammen, jener Zahlen also, die sich nur durch 1 und sich selbst teilen lassen. Diesen Zusammenhang erkannte 1859 der deutsche Mathematiker Bernhard Riemann, nach dem die Vermutung benannt ist.

Riemann starb schon mit 39 Jahren an Tuberkulose, aber in seinem kurzen Leben leistete er enorme Beiträge zu Funktionentheorie und Geometrie, die bis heute prägend für Mathematik und Physik sind. So fiel ihm auf, dass die spannenden Nullstellen der Zeta-Funktion alles andere als zufällig über die Ebene der komplexen Zahlen verteilt sind, sondern offenbar alle genau auf einer senkrechten Geraden liegen. Dass es von dieser Regel tatsächlich keine Ausnahme gibt, ist die berühmte Riemannsche Vermutung. "Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen", schrieb Riemann dazu; "ich habe indeß die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen."

Für heutige Mathematiker muss dieser Satz wie Hohn klingen, denn schon ganze Karrieren wurden dem Versuch gewidmet, die Vermutung zu beweisen - alles vergeblich. Erst im vergangenen Herbst hatte der inzwischen im Alter von 89 Jahren verstorbene Fields-Medaillen-Träger Sir Michael Atiyah einen Beweis angekündigt. Doch nach seinem knappen Vortrag in Heidelberg waren Kollegen eher betreten, der Ansatz des großen Mathematikers galt schnell als widerlegt. Die neue Arbeit in PNAS jedoch macht manchen Experten neue Hoffnung. Einer der Autoren ist der renommierte Mathematiker Don Zagier vom Max-Planck-Institut für Mathematik in Bonn.