Geometrie: Das magische Pentagon

Mathematiker haben eine fünfeckige Form entdeckt, mit der sich eine Wand lückenlos fliesen ließe. 30 Jahre suchten sie nach der Lösung.

Es ist ein Problem, das berühmte Mathematiker genauso fasziniert wie knobelnde Laien. Ein Gedankenspiel, das man Schulkindern erklären kann, obwohl die Lösung sogar Computer aus der Puste bringt. Ein Rätsel, das auch manchem Fliesenleger schon begegnet sein dürfte. Es lautet: Mit welcher Art von Fünfecken kann man eine Wand bepflastern, ohne dass Lücken bleiben?

Drei Mathematiker der University of Washington Bothell haben eine neue Antwort auf diese Frage gefunden. Sie haben eine bislang unbekannte Variante eines Fünfecks entdeckt, mit dem sich eine Wand lückenlos bedecken ließe, wenn man nur genügend Fliesen dieser Form aneinanderfügt. Mit Drei- und Vierecken sowie mit gleichschenkeligen Sechsecken klappt das bekanntermaßen problemlos. Mit fast allen anderen Sechsecken sowie mit Sieben- und Achtecken bleiben hingegen Lücken.

Fünfecke sind so gesehen die kniffligste Form der Geometrie. Ihre berühmteste, im Hauptsitz des US-Verteidigungsministerium verewigte Form, bei der alle Seiten gleich lang sind, bedeckt eine Fläche nicht lückenlos. Ganz anders als 14 Fliesen-kompatible Fünfecke, die in den vergangenen 100 Jahren entdeckt wurden (siehe Grafiken). Bis heute ist unklar, wie viele weitere es noch gibt. Für Mathematiker, die ihre Aussagen gerne so allgemeingültig wie möglich formulieren, ist das ein Ärgernis.

Fünfecke bringen Forscher ins Grübeln. Wie viele der Formen eine Fläche füllen, ist offen

"Es ist nicht das wichtigste Mathematik-Problem der Welt", sagt der Mathematikprofessor Günter M. Ziegler von der FU Berlin. Aber es sei eines, das seine Zunft schon lange beschäftigt. Die ersten Fünfeckformen, die eine Fläche füllen, fand der deutsche Mathematiker Karl Reinhardt im Jahr 1918. Weitere entdeckte unter anderem eine amerikanische Hausfrau in den 1970er-Jahren. Sie war auf das Rätsel in einer populärwissenschaftlichen Zeitschrift aufmerksam geworden und tüftele jahrelang an einer Lösung. Auf das vierzehnte, bislang letzte magische Fünfeck stieß schließlich ein deutscher Doktorand im Jahr 1985.

Dann ruhten die Fünfecke 30 Jahre lang. Nun bringt eine Arbeit der Mathematiker der University of Washington Bothell wieder Schwung in den exotischen Forschungsbereich. Casey Mann, Jennifer McLoud und David Von Derau haben systematisch nach neuen Fünfecken gesucht, die eine Fläche füllen. Ihr Computer hat nach und nach verschiedene Formen durchprobiert.

Bis sie im vergangenen Monat das Fünfeck Nummer 15 fanden:

Die neue Lösung der Mathematiker

(Foto: SZ-Grafik: Dalila Keller)

Es ist nicht gerade ein ästhetisches Meisterwerk. Alle seine Innenwinkel sind unterschiedlich groß. Einer nimmt gar den Riesenwert von 150 Grad ein. Von der Form her erinnert das neue Fünfeck daher eher an eine Schubkarre als an das Produkt einer wissenschaftlichen Arbeit. Dennoch füllen Fünfecke dieser Form, richtig aneinandergefügt, lückenlos eine Fläche, wie die Forscher zeigen konnten.

Weitere Lösungen sind denkbar

Bisher haben sie ihre Arbeit nur im Internet präsentiert, ein Fachaufsatz steht noch aus. "Das sieht aber schon alles sehr seriös aus", kommentiert Ziegler. Er freue sich, dass es nun eine systematische Herangehensweise an das nach wie vor ungelöste Problem der Fünfecke gebe. "Im Badezimmer ist das ja sehr langweilig, aber die Theorie der Kachelung ist ausgesprochen vielfältig", sagt er.

Ziegler hält es für wahrscheinlich, dass die US-Forscher noch mehr neue Fünfecke finden. Denkbar sei sogar, dass man irgendwann eine Liste sämtlicher Fünfecke mit Füllcharakter habe. Damit sei die Mathematik der Pflasterung freilich noch nicht am Ende. Schließlich bleibt noch die Frage, wie man einen Raum lückenlos mit dreidimensionalen Körpern füllen kann. "Das ist noch viel komplizierter", sagt der Mathematiker.