Mathematik: Doktorandin löst wichtiges Mathematik-Rätsel

Die US-Mathematikerin Lisa Piccirillo findet die Lösung zum Conway-Knoten.

Knoten können kompliziert sein, das gilt nicht nur beim Entwirren von Gartenschläuchen, Drachenschnüren oder Wollknäueln. Auch in der Mathematik ist die Theorie der Knoten ein wichtiges Gebiet. An manchen Rätseln aus diesem Bereich haben sich schon viele Mathematiker vergeblich versucht. Umso überraschender - beziehungsweise frustrierender, je nach Perspektive - ist es dann, wenn ausgerechnet einer Doktorandin die Lösung gelingt.

Es war Sommer 2018, als sich die junge US-Mathematikerin Lisa Piccirillo, die damals an der University of Texas arbeitete, an den berühmten Conway-Knoten wagte. Er ist benannt nach dem kürzlich an Covid-19 verstorbenen großen britischen Mathematiker John Horton Conway. Die Schnüre kreuzen sich im Conway-Knoten elfmal, wobei die Enden der Schnüre bei mathematischen Knoten nicht lose sind, sondern quasi zusammengeklebt. Sie bilden ein in sich geschlossenes Konstrukt.

Sie habe es nicht als echte Mathematik betrachtet - nur als eine Art Hausaufgabe

Mathematisch ist es oft interessant, ein Objekt als Teil einer höherdimensionalen Version zu betrachten. So kann ein in den gewöhnlichen drei Dimensionen des Raumes geschlungener Knoten der Querschnitt einer Kugeloberfläche sein, die in vier Dimensionen auf abstrakte Weise verknotet ist, auch wenn sich beim Versuch, sich das vorzustellen, so manche Gehirnwindung verknoten mag. Der Knoten ist in diesem Fall der Rand einer Scheibe im Innern der vierdimensionalen Kugel - ein "Scheibenknoten". Viele Knoten lassen sich so betrachten. Aber welche nicht? Für sämtliche Knoten mit bis zu zwölf Überkreuzungen hatten Mathematiker das geklärt. Nur der Conway-Knoten widersetzte sich seit Jahrzehnten. Lisa Piccirillo aber konnte in nur einer Woche beweisen: Der Conway-Knoten ist kein Scheibenknoten; die passende Kugel existiert nicht.

Ihr Beweis wurde im Februar in den Annals of Mathematics veröffentlicht, der prestigeträchtigen Zeitschrift für epochale mathematische Arbeiten. Dabei hatte sie ihre Lösung zuerst nur für eine Fingerübung gehalten, wie sie dem Quanta Magazine erzählte: "Ich habe mir nicht erlaubt, tagsüber daran zu arbeiten", sagte Piccirillo. Sie habe es nicht als "echte Mathematik" betrachtet, eher als eine Art Hausaufgabe. Der Trick, den sie anwandte, hat mit einer vierdimensionalen Form namens "Spur" zu tun, die man jedem Knoten zuordnen kann; darüber hatte sie schon zuvor publiziert. Wenn zwei Knoten die gleiche Spur haben, sind entweder beide Scheibenknoten, oder sie sind es beide nicht. Piccirillo konstruierte also einen zweiten Knoten ("Piccirillo-Knoten", Grafik rechts), der die gleiche Spur hat wie der Conway-Knoten. Für diesen konnte sie beweisen, dass er kein Scheibenknoten ist - und fertig.

Falls das nun einfach klingen sollte: Das ist es nicht. In einem von der University of Texas verbreiteten Interview hat Piccirillo erklärt, wie sie arbeitet: "Forschung ist hart, 364 Tage im Jahr löst man gar nichts." Sie sei nicht besonders diszipliniert, also suche sie sich Probleme aus, die das Nachdenken wenigstens interessant machen, auch an den 364 erfolglosen Tagen. Dann mache es Spaß, hart zu arbeiten, und wenn man lange genug hart und sorgfältig arbeite, dann finde man die Lösung schon.

Zumindest in diesem Fall hat die Methode offenbar funktioniert. Auch dank ihrer Arbeit zum Conway-Knoten kann Lisa Piccirillo im Sommer eine Juniorprofessur am Massachusetts Institute of Technology antreten.