Knobelei der Woche Finden Sie die vollkommene Zahl?

Rätsel der Woche auf sueddeutsche.de

Unser Rätsel der Woche: Alle Köpfe und Pfeifen rauchen.

(Foto: Illustration Jessy Asmus)

Ein kleines Rätsel zur Auflockerung des Büroalltags gefällig? Diesmal geht es um eine mathematische Besonderheit.

In den USA werden etwa 60 Prozent aller Onlineeinkäufe zwischen 9 und 17 Uhr erledigt. Sollten auch Sie sich während der Arbeitszeit mit bürofremden Dingen befassen oder ein paar Minuten Ablenkung von Kollegen, Kantine und E-Mails suchen, haben wir einen Vorschlag: Nutzen Sie die Zeit und trainieren Ihr Gehirn - mit dem wöchentlichen Rätsel auf SZ.de. Finden Sie die Lösung?

Das Rätsel der Woche

In der Mathematik gibt es die sogenannten vollkommenen oder auch perfekten Zahlen. Das sind natürliche Zahlen, die gleich der Summe all ihrer positiven Teiler außer sich selbst sind. Die kleinste vollkommene Zahl ist die 6: Sie ist teilbar durch 1, 2 und 3, zugleich gilt: 1 + 2 + 3 = 6.

Es gibt exakt eine zweistellige vollkommene Zahl. Finden Sie sie? Googlen ist natürlich verboten. (Zusatzaufgabe: Es gibt auch exakt eine dreistellige vollkommene Zahl - viel Spaß beim Suchen!)

Die Lösung

Liebe Leser, diesmal haben wir Sie mit unserer Frage entweder überfordert oder gelangweilt - oder es war Ihnen einfach zu heiß für mathematische Höchstleistungen. Die wenigen trotz aller Umstände fleißigen Knobler sind aber fast allesamt auf die beiden gesuchten Zahlen gekommen. Diese lauten (mit ihren für die Überprüfung notwendigen Teilern):

  • 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
  • 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

Und falls Sie nun noch ein bisschen höhere Mathematik zum Thema vollkommene Zahlen genießen mögen, hat Mitspieler Joachim K. mal was für Sie vorbereitet:

"Vollkommene oder perfekte Zahlen ergeben sich genau dann aus der Formel

((2^(n)-1)*(2^(n-1)),

wenn (2^n)-1 eine Primzahl ist. Für n = 2 ist dies gegeben, die Lösung ist 6. Für n = 3 lautet die Lösung 7 * 4 = 28, für n = 4 ist 2^4-1 = 15 keine Primzahl, für n = 5 lautet die Antwort 31 * 16 = 496. Für n = 6 ist 2^6-1 = 63 keine Primzahl, für n = 7 lautet die Antwort 127 * 64 = 8128, für n = 13 8191 * 4096 = 33550336. Danach wird es unübersichtlich.

Beweis: Für n = 2 lässt sich die Richtigkeit leicht überprüfen. Für n > 2 hat die jeweilige Zahl die Teiler 2^(n-1), 2^(n-2), ... 1, (2^n)-1 * 2^(n-2) ...(2^n)-1 * 1. Die Summe von 2^(n-1), 2^(n-2), ... 2,1 ist (2^n)-1, die Summe von (2^n)-1 * 2^(n-2) ...(2^n)-1 * 1 ist (2^n)-1 * (2^(n-1)-1).

(2^n)-1 * (2^(n-1)-1) + (2^n)-1 = (2^n)-1 *2^(n-1)

q.e.d.

Die Zahlen der Form (2^n)-1 heißen Mersenne'sche Zahlen. Zu jeder Mersenne'schen Primzahl gehört also eine vollkommene Zahl."

In diesem Sinne wünschen wir Ihnen noch eine schöne Restwoche und freuen uns auf die nächste Knobelei!

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