Zahlentheorie Mathematiker finden überraschendes Muster in Primzahlen

Zumindest für die ersten Billionen Primzahlen gilt: Ihre letzte Ziffer ist kein Zufall.

Von Patrick Illinger

Auch nach Jahrzehnten der Forschung entdecken Mathematiker im Reich der Primzahlen noch handfeste Überraschungen. Das zeigt eine soeben erschienene Arbeit zweier Zahlentheoretiker der kalifornischen Stanford-Universität. Kannan Soundararajan und sein Kollege Robert Lemke Oliver haben eine Eigenschaft von Primzahlen entdeckt, die darauf hindeutet, dass diese Zahlen nicht so zufällig sind, wie Theoretiker bislang vermuteten.

Aufeinanderfolgende Primzahlen wiederholen ihre Endziffer nur ungern

Eine Primzahl ist eine ganze Zahl, die man ohne Rest nur durch sich selbst und durch 1 teilen kann. Bekannt ist, dass Primzahlen mit zunehmender Größe seltener werden - einfach weil es mehr Möglichkeiten gibt, einen Teiler zu finden. Und Primzahlen können weder auf eine gerade Zahl enden (da sie sonst durch 2 teilbar sind) noch auf eine 5, da sie sonst durch 5 teilbar sind. Als Endziffern einer Primzahl bleiben somit nur die 1, 3, 7 und 9.

Diese Endungen kommen generell etwa gleich häufig vor. Die beiden Stanford-Mathematiker haben nun allerdings festgestellt, dass aufeinanderfolgende Primzahlen die letzte Ziffer nur ungern wiederholen. Zumindest für die ersten Billionen Primzahlen gilt: Endet eine Primzahl mit der Ziffer 1, so liegt die Wahrscheinlichkeit, dass die nächst größere Primzahl ebenfalls mit einer 1 endet, nur bei 18 Prozent. Mit 30 Prozent Häufigkeit ist die Endziffer der nächst größeren Primzahl eine 3 oder eine 7. Die Häufigkeit einer 9 nach einer 1 beträgt 22 Prozent. Bei einer komplett zufälligen Verteilung der Endziffern müssten all diese Häufigkeiten je 25 Prozent betragen, da es vier mögliche Endziffern gibt. Eine ähnliche Abneigung für aufeinander folgende, gleichlautende Endziffern gibt es für die 3, 7 und 9.

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"Das ist tatsächlich überraschend", kommentiert die Mathematik-Professorin Eva Viehmann von der Technischen Universität München. Man habe zwar nicht unbedingt das Gegenteil erwartet, sagt die Expertin für Arithmetische Geometrie, aber nun sei klar: Die letzte Stelle einer Primzahl ist kein reiner Zufall.

Eine einfache Erklärung für diese statistische Auffälligkeit haben die Mathematiker noch nicht. In einschlägigen Internet-Foren wird die Entdeckung eifrig diskutiert. Für lebensnahe Anwendungen von Primzahlen, etwa bei der Verschlüsselungstechnik im Bankenwesen, hat die Entdeckung keine absehbaren Konsequenzen. Es ist bislang ein Kuriosum - und womöglich ein Indiz für weitere im Reich der Primzahlen versteckte Gesetze, die es noch zu erkunden gilt.

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