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Lösung eines Jahrhundertproblems
23.08.2007, 15:01
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Der Russe Grigorij Perelman bestätigte "Poincarés Vermutung" und beantwortete damit eine der größten Fragen der Mathematik. (Foto: Reuters)
Im Jahr 2000 stellte das Clay Mathematics Institute eine Liste von sieben mathematischen Problemen zusammen, die als ebenso schwierig wie zukunftsweisend gelten. Für jedes davon schrieb die Stiftung des amerikanischen Multimillionärs Landon T. Clay eine Million Dollar für denjenigen aus, der das Problem als erster knackt. Während die "scientific community" bei sechs Milleniumsproblemen noch keinen Schritt vorangekommen ist, gilt das siebte inzwischen als erledigt.
In seinem Buch "Poincarés Vermutung" schildert Donal O'Shea dessen Geschichte von den alten Griechen bis heute. Neben der eigentlichen Mathematik beschreibt der US-amerikanische Professor, wie das jeweils gültige Weltbild die beteiligten Forscher prägte und wie sie wiederum dieses Weltbild veränderten.
Die Wissenschaft entwickelt sich bei ihm nicht im luftleeren Raum, sondern in der Gesellschaft, die sie hervorbringt. Daher beleuchtet O'Shea die Lebensumstände der Mathematiker, angefangen von den griechischen Philosophen über die Gelehrten an den Fürstenhöfen bis zu den Professoren der modernen Massen-Universität.
Dieser ganzheitliche Ansatz ist eine der Stärken des Buches. Obwohl sein Thema extrem kompliziert und abstrakt ist, gelingt es O'Shea darüber immer wieder spannende Einblicke in das Leben der Forscher und die Entwicklung ihrer Ergebnisse zu bieten.
Zwar formulierte die Vermutung als erster der Franzose Henri Poincaré im Jahr 1904. Doch reichen ihre Wurzeln viel weiter zurück. Denn es geht darum, wie O'Shea erklärt, welcher Geometrie die Welt gehorcht. Und da setzte der griechische Mathematiker Euklid vor rund 2300 Jahren den Grundstein.
Noch heute lernen wir in der Schule die so genannte Euklidische Geometrie, mit der sich die Welt in dem uns vertrauten Längenmaßstab beschreiben lässt. Für astronomische Größenordnungen versagt diese indes. Einsteins Relativitätstheorie etwa fußt auf einer nicht-euklidischen Geometrie.
Modernen astrophysikalischen Theorien zufolge ist unser Universum eine so genannte 3-Sphäre. Und von der handelt Poincarés Vermutung. Das für den Laien Abschreckende dabei ist, dass die 3-Sphäre Teil eines vierdimensionalen Raumes darstellt. Während wir im täglichen Leben nur drei Raumrichtungen - links/rechts, vorne/hinten, hoch/runter - kennen, bewegen sich Mathematiker ohne Bedenken im Höherdimensionalen.
Für sie kommt lediglich pro Dimension eine Koordinate hinzu. Statt wie im Dreidimensionalen einen Punkt mit drei nebeneinander stehenden Zahlen zu beschreiben, nehmen sie eben eine vierte hinzu. Häufig wirft das keinerlei zusätzliche Schwierigkeiten auf. Im Bezug auf das, was Poincaré im Sinn führte, aber sehr wohl.
Die 1-Sphäre ist eine Kreislinie, die 2-Sphäre die Oberfläche einer Kugel, die 3-Sphäre die Oberfläche einer vierdimensionalen Kugel. Poincaré glaubte vor gut hundert Jahren, bewiesen zu haben, welche Eigenschaften ein Gebilde haben müsste, um eine - möglicherweise etwas verformte - 3-Sphäre zu sein. Als er einen Fehler in seiner Arbeit fand, formulierte er das Theorem um. Doch ein Beweis wollte ihm so wenig gelingen wie seinen Nachfolgern.
Das Kriterium, wann eine Oberfläche eine 2-Sphäre darstellt, hingegen kannte Poincaré. Es lässt sich am Beispiel eines Apfels und eines Kringels erklären. Ein Gummiband, das um einen Apfel gelegt ist, kann man entlang der Frucht verschieben und schließlich zu einem Punkt zusammenziehen. Ist das Band so um einen Kringel gelegt, dass es durch das Loch in der Mitte geht, funktioniert das nicht.
Gebilde, bei denen sich jedes Gummiband zu einem Punkt zusammenziehen lässt, heißen einfach zusammenhängend. Einfach zusammenhängende zweidimensionale Oberflächen sind - eventuell deformierte - 2-Sphären. Poincaré vermutete, dass für dreidimensionale Oberflächen eine ähnliche Charakterisierung gilt. Eine Aussage, an der hundert Jahre lang die klügsten Köpfe verzweifeln sollten.
Lesen Sie auf der nächsten Seite, warum Perelman in kein Auto steigt.
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