Grundkurs Mathematik Infinitesimalrechnung

1. Die Abbildung zeigt den Graphen Gf einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades mit dem Definitionsbereich Df = IR. Die in der Abbildung angegebenen Punkte P(1I3), N1 (0I0), N2 (2I0) und N3 (4I0) sind Punkte von Gf.

a) Geben Sie den Funktionsterm von f in der Form f (x) = a(x-b)(x-c)(x-d) an, indem Sie passende Werte für a, b, c, d als Elemente von IR ermitteln. Zeigen Sie, dass sich dieser in der Form f(x) = x³ - 6x² + 8r schreiben lässt.

b) Weisen Sie nach, dass N2 Wendepunkt von Gf ist, und ermitteln Sie die Gleichung der zugehörigen Wendetangente. [Zur Kontrolle: Tangentengleichung y = -4x+8]

c) Die Wendetangente schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Bestimmen Sie den Innenwinkel dieses Dreiecks.

d) Berechnen Sie F(4). Was folgt daraus für die beiden Flächenstücke, die der Graph Gf mit der x-Achse im I. und im IV. Quadranten einschließt? Begründen Sie Ihre Antwort. Bestimmen Sie nun die Summe der Inhalte dieser beiden Flächenstücke.

e) Einer der drei abgebildeten Graphen I, II oder III stellt den Graphen von F dar. Geben Sie an, welcher dies ist, und begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie erklären, warum die beiden anderen Graphen nicht in Betracht kommen.

f) Bekanntlich ist jede Integralfunktion der Funktion f auch Stammfunktion von f. Begründen Sie, dass jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle hat. Geben Sie den Term einer Stammfunktion von f an, die keine Integralfunktion von f ist.

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